Два маятника

При моделировании устройств, имеющих пары движущихся по криволинейным траекториям грузов, я буду моделировать сам механизм устройства, характер движения его частей, в особенности грузов, рассчитывать траекторию грузов, скорости, направление, ускорение и силы, действующие на грузы, а также сумму этих сил.

Отдельным пунктом в этом моделировании я бы выделил моделирование сил, которые возникают между парами движущихся грузов. Первым эти силы обнаружил, исследовал и создал демонстрационный образец механизма Владимир Николаевич Толчин. Эта сила возникает при синхронном вращении двух грузов в противоположных направлениях, грузы движутся в одну сторону в продольном направлении, возникающая сила тянет центр масс устройства навстречу им. Подобное поведение устройства возникает только при определённых соотношениях масс механизма и грузов. При слишком лёгком механизме он будет болтаться между тяжёлыми грузами. При слишком тяжёлом механизме грузы не будут действовать на него с нужным эффектом. При правильном соотношении масс движущиеся с большой скоростью грузы становятся для механизма новым центром масс и тянут механизм к нему.

Для демонстрации этих сил Толчина возьмём два рычага с закреплёнными на их концах грузами и рассмотрим качание этих рычагов. Рычаги совершают гармонические колебания в угле 140 градусов, ускоряясь в начале пути, развивая максимальную скорость в середине пути и замедляясь в конце пути. На обратном пути ускорение и скорость развиваются аналогично и симметрично.

Сначала рассмотрим величину и направление центробежных сил. Силы эти приложены к центру масс грузов (сами рычаги считаем невесомыми и их собственной массой пренебрегаем) и направлены в противоположную сторону от прилагаемой к этим грузам силе, которая заставляет их двигаться по криволинейной траектории. В центре координат располагается вектор суммы центробежных сил.

При расчётах и моделировании используется проволочно-шариковая модель, в которой грузы представлены красными шариками, в которых сконцентрирована вся масса грузов, центр механизма, вокруг которого совершают перемещения грузы, представлен жёлтым шариком. Шарики между собой соединены проволочной связью.

При сложной траектории движения грузов будет использована и визуализирована плоскость, в которой лежат исследуемые грузы и центр механизма. Силы Толчина, возникающие между грузами и центром механизма будут расположены в этой плоскости. Анализируя движение грузов в системе координат этой плоскости можно понять характер движения грузов и произвести количественные расчёты.

Силы, возникающие между грузами при их движении, зависят от длины рычага, массы грузов, угловой скорости перемещения. Существует множество теорий, описывающих характер взаимодействия движущихся грузов и механизма и предлагающих количественные и качественные расчёты сил. Сложившейся теории инерциоида Толчина пока нет. Однако, результаты лабораторных исследований инерциоида и найденные эмпирические зависимости позволяют использовать формулы для расчёта количественных и качественных показателей.

Одной из формул, найденной на форумах в просторах Интернета, была формула силы, основанная на кинетической энергии движущихся вокруг центра механизма грузов:

F = ½ Kf R2 ω2,

где: R – радиус вращения груза, ω – угловая скорость, Kf – функция, связывающая количество кинетической энергии грузов с мгновенным значением силы, действующей на механизм.

Формула неплохо качественно описывает поведение этой силы: при большей скорости вращения грузов сила больше, она больше при большей величине радиуса вращения, чем больше масса, тем больше сила. Если не принимать во внимание функцию Kf, то удаётся сравнить величину силы между двумя условиями движения грузов, отличающихся по входящим в формулу величинам. Формула, к сожалению, не даёт возможности сделать количественные вычисления. Но показать, в каких условиях сила больше, позволяет.

Другой формулой, позволяющей вычислить силы между двумя грузами, является формула Шипова, которую он вывел по результатам экспериментов с инериоидом Толчина:

где A = 2m/(2m - M); B = Rm; m – масса одного груза, M – масса механизма, ω – угловая скорость, ώ – угловое ускорение, ὥ – вторая производная угловой скорости, φ – угол поворота грузов.

Обе формулы показывают качественно одинаковое поведение силы. Отличие формулы Шипова состоит в том, что она учитывает угол поворота грузов и три производные угла. Из-за этого формула очень чувствительна к скорости и ускорению грузов, показывает всплески. Кроме того, формула имеет проблему - знак подкоренного выражения может иметь отрицательный знак. Поэтому под корнем оставался модуль выражения, а знак выносился из-под корня. В таком виде формула и была применена В.А. Жигаловым.

Одним из экспериментов, подтверждающим теорию возникновения сил на механизм с вращающимися рычагами, является вот это видео.

В нём использован один рычаг с грузом, который приводится в действие электромотором, находящимся на тележке. При движении рычага встречно движется также и тележка с двигателем вокруг общего центра масс. Таким образом, всё время движения грузов на механизм действует сила и она тем больше, чем больше длина рычага, масса груза и угловая скорость.

#формулаШипова